Conjecture des nombres premiers jumeaux : l'étau se resserre

Conjecture des nombres premiers jumeaux : l’étau se resserre

Le 13 mai 2013, le mathématicien Yitang Zhang, de l’Université du New Hampshire, aux États-Unis, montrait qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la différence était d’au plus 70 000 000. C’était une première étape importante vers la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui affirme qu’il existe une infinité de couples de nombres premiers qui ne diffèrent que de 2 (tels que le couple (11, 13)). Ce résultat a déclenché un regain d’intérêt pour cette conjecture. Le mathématicien australien Terence Tao, lauréat d’une médaille Fields en 2006, a ainsi mis en place un projet collaboratif inédit entre des mathématiciens. Ce projet a débouché sur une réduction considérable de la borne établie par Y. Zhang. Indépendamment, James Maynard, de l’Université de Montréal, a développé une approche différente encore plus efficace.

Le résultat de Y. Zhang avait de quoi intriguer : pourquoi 70 000 000 ? Cette valeur, très grande par rapport à l’objectif visé dans la conjecture des nombres premiers jumeaux, était imposé par la forme de la démonstration. Le travail de Y. Zhang était néanmoins important de par le raisonnement sous-jacent et par le résultat de principe : il existe un nombre fini N tel qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont la différence vaut au plus N. L’objectif était ensuite de réduire ce nombre, jusqu’à atteindre N = 2 et ainsi démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux. Dès la fin du mois de mai, la borne a été ramenée à 60 000 000 par de simples améliorations des arguments de Y. Zhang. Le 4 juin, T. Tao a créé dans le cadre du « projet Polymath », une collaboration ouverte et en ligne qui a attiré des dizaines de mathématiciens. Le 27 juin, le paramètre avait été réduit progressivement à 4 680. Le projet collaboratif était déjà un succès.

Pour comprendre pourquoi le groupe de mathématiciens a pu être aussi efficace, il faut expliquer comment fonctionne la démonstration de Y. Zhang. Celle-ci revient à traquer les nombres premiers avec une sorte de « peigne à nombres » avec des dents cassées, et dont les dents restantes vérifient certaines propriétés. Y. Zhang a montré qu’avec un peigne contenant 3 500 000 dents sur 70 000 000, il existe une infinité de positions du peigne dans la suite des nombres entiers, telles qu’au moins deux dents pointent sur des nombres premiers. La démonstration contient donc trois parties indépendantes : la première consiste à trouver les bons emplacements du peigne – où se cachent des nombres premiers –, la deuxième à estimer le nombre de dents nécessaires pour pointer les nombres premiers, et la troisième à déterminer la largeur du peigne. Ainsi, dans le projet Polymath, les participants ont pu se répartir en trois groupes de travail selon leurs compétences pour améliorer une des composantes de la démonstration.

La taille du peigne n’avait pas été particulièrement optimisée par Y. Zhang et laissait donc le champ à des améliorations significatives. Cela a permis de réduire considérablement la taille du peigne, donc de la borne. La première partie était la plus délicate, car elle met en jeu le problème épineux de la répartition des nombres premiers. Y. Zhang avait utilisé des outils développés dans les années 1970 par le mathématicien belge Pierre Deligne (autre lauréat de la médaille Fields, et qui a reçu cette année le prix Abel). Ces outils sont très complexes, et les membres du projet collaboratif n’ont pas su améliorer la technique. En revanche, ils ont trouvé un moyen de résoudre le problème sans les résultats de P. Deligne, mais la borne obtenue par cette voie n’est «que» de 14 950.

Une nouvelle publication par J. Maynard est venue donner un coup d’accélérateur au projet de T. Tao. Dans cet article, le mathématicien de Montréal a trouvé un moyen d’améliorer la méthode de Y. Zhang en remplaçant un outil qui estime la probabilité qu’un nombre soit premier. En 2005, Daniel Goldston, de l’Université d’État de San José, János Pintz, de l’Institut Alfréd Rényi de mathématiques de Budapest, et Cem Yildirim, de l’Université Bogaziçi d’Istanbul, ont décrit un système d’évaluation qui attribue une « note » estimant la probabilité qu’un nombre soit premier. Deux ans plus tôt, D. Goldston et C. Yildirim avaient publié une méthode similaire, mais une erreur fut découverte. Cette première tentative avait donc été mise de côté et abandonnée au profit de la nouvelle méthode. J. Maynard a repris la première méthode défectueuse et l’a corrigée, développant ainsi un outil plus performant que celui utilisé par Y. Zhang. Il atteint ainsi une valeur de 600 pour la borne !

Aujourd’hui, J. Maynard et le projet Polymath comptent unir leurs forces pour réduire encore l’écart. Cependant, la conjecture des nombres premiers jumeaux (borne égale à 2) ne sera probablement pas atteinte par cette approche. En effet, la valeur qu’il serait théoriquement possible d’atteindre dans la méthode de J. Maynard est 12. Mais les progrès effectués par Y. Zhang, J. Maynard et la collaboration Polymath sont d’ores et déjà importants pour de nombreuses disciplines mathématiques. De cette effervescence, d’autres idées pourraient encore surgir pour démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux !

Pour la Science

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